椭圆曲线数字签名算法（ECDSA）在比特币中的验证原理

在区块链技术中，特别是比特币网络中，保证交易的真实性和安全性至关重要，这依赖于数字签名机制，其中椭圆曲线数字签名算法（Elliptic Curve Digital Signature Algorithm，简称ECDSA）扮演核心角色，ECDSA是一种基于椭圆曲线密码学的签名算法，它利用数学上的离散对数难题来提供高效的安全性。

比特币使用ECDSA（具体为secp256k1曲线）来验证交易签名，这允许接收方确认签名是由持有对应私钥的人创建的，而无需透露私钥本身，下面内容纯干货讲解~解释ECDSA签名的验证过程，通过理解这个过程，帮大家掌握为什么签名验证能证明交易的合法性，同时保持私钥的安全。

椭圆曲线密码学基础

在深入验证前，先简要说下椭圆曲线密码学的基础知识，椭圆曲线是一条数学曲线，形如 ( y^2 = x^3 + ax + b )，其中 ( a ) 和 ( b ) 是常量，在密码学中，我们在有限域（模一个大素数 ( p )）上操作这些曲线。

关键元素

1、生成点 ( G )：曲线上一个固定的起点，所有其他点通过“点乘”操作从 ( G ) 生成。

2、阶 ( n )：一个大素数，表示曲线的“大小”，用于模运算。

3、私钥 ( d )：一个随机选择的整数（1到 ( n-1 )）。

4、公钥 ( Q )：通过 ( Q = d \cdot G ) 计算得到的曲线点（点乘操作）。

ECDSA签名过程涉及生成签名对（( r, s )），而验证则检查这些签名是否与消息哈希和公钥匹配。

假设我们有

1、消息（交易数据）的哈希值 ( z )（如，使用SHA-256生成）。

2、签名对 ( (r, s) )。

3、公钥点 ( Q \）。

验证的目标是确认签名是由私钥 ( d ) 生成的，而不暴露 ( d \）。

ECDSA签名验证的核心步骤

ECDSA验证是一个数学运算序列，保证签名满足特定的椭圆曲线关系。

步骤1: 预处理和参数准备

1、生成消息摘要 ( z )：比特币交易数据首先通过双重哈希（SHA-256两次）处理，得到一个固定长度的摘要 ( z )，这保证即使消息很长，也能高效处理。

2、提取签名组件：签名由两个大整数 ( r ) 和 ( s ) 组成，这些值在签名生成时由私钥和一个随机数 ( k ) 计算得出。

3、准备公钥和曲线参数：公钥 ( Q ) 是曲线上的一个点（包含 ( x ) 和 ( y ) 坐标），曲线参数（如 ( G ) 和 ( n )）是标准化的（比特币使用secp256k1）。

所有运算都在模 ( n ) 下进行，以防止溢出并保证安全性。

步骤2: 计算逆元和中间参数

计算 ( s ) 的模逆 ( w )：首先求 ( s ) 在模 ( n ) 下的逆元，即 ( w = s^{-1} \mod n )，逆元满足 ( s \cdot w \equiv 1 \mod n )，这可以使用扩展欧几里得算法计算。

计算 ( u_1 ) 和 ( u_2 )

1、( u_1 = z \cdot w \mod n )

2、( u_2 = r \cdot w \mod n )

这些参数将消息摘要与签名结合，准备用于曲线运算。

步骤3: 执行椭圆曲线点运算

计算验证点 ( X )：使用点乘和点加运算计算：( X = u_1 \cdot G + u_2 \cdot Q )

这里，“·”表示椭圆曲线点乘（scalar multiplication），即多次点加；“+”表示点加（point addition），将两个点合并成第三个点。

点乘运算类似于“跳跃”：( u_1 \cdot G ) 是从生成点 ( G ) 跳 ( u_1 ) 步；( u_2 \cdot Q ) 是从公钥 ( Q ) 跳 ( u_2 ) 步。然后将两者相加得到 ( X )，这是一个新的曲线点。

步骤4: 最终验证

1、提取 ( X ) 的横坐标：取点 ( X ) 的 ( x )-坐标，记为 ( x_1 )。

2、计算验证值 ( v )：( v = x_1 \mod n )。

3、检查条件：如果 ( v = r )，那签名有效，否则无效。

这一步是验证的核心：它检验计算出的点是否与签名中的 ( r ) 匹配。

为什么这一验证过程证明签名有效？

要理解验证的数学基础，我们回顾签名生成过程（简要概述）。

1、在生成签名时，选择随机数 ( k )，计算临时点 ( R = k \cdot G )，其 ( x )-坐标模 ( n ) 即为 ( r )。

2、然后 ( s = k^{-1} (z + r \cdot d) \mod n )，其中 ( d ) 是私钥。

验证过程本质上是“逆向”重构这一关系

通过 ( u_1 = z \cdot s^{-1} \mod n ) 和 ( u_2 = r \cdot s^{-1} \mod n )，我们有：( X = (z \cdot s^{-1}) \cdot G + (r \cdot s^{-1}) \cdot Q )

由于 ( Q = d \cdot G )，代入得：( X = s^{-1} (z \cdot G + r \cdot d \cdot G) = s^{-1} (z + r \cdot d) \cdot G )

从生成过程知 ( s = k^{-1} (z + r \cdot d) \mod n )，故而 ( s^{-1} (z + r \cdot d) = k \mod n )。

因而 ( X = k \cdot G = R )，其 ( x )-坐标模 ( n ) 应等于 ( r \）。

这一等式只有在签名使用正确私钥 ( d ) 时才成立，这基于椭圆曲线的离散对数难题，从 ( Q ) 和 ( G ) 无法轻易求出 ( d )，保证私钥安全。

如果签名无效（如伪造），计算的 ( v ) 将不等于 ( r )，验证失败。

潜在问题与注意事项

1、实现细节

在实际代码中（如Python的ecdsa库），这些运算使用大整数库处理，验证失败可能由于哈希不匹配、公钥无效或计算错误。

2、安全性

ECDSA依赖随机数 ( k ) 的质量，如果 ( k ) 可预测，私钥可能泄露。

3、签名可塑性

比特币曾有签名可塑性问题（即 ( s ) 可以有高/低值变体），但通过BIP-62等改进已缓解。